Comment évolue une population de lièvres face à l’augmentation du nombre de lynx ? Dans quelle mesure la diminution du nombre de proies peut devenir un facteur limitant pour la reproduction des prédateurs ? 

Ces questions portant sur l’évolution couplée d’une population de proie et d’une population de prédateurs ont fait l’objet de nombreux travaux théoriques au cours du 20e siècle. Différents modèles explicatifs ont été élaborés, dont celui de Lotka-Volterra (1925). Le modèle mathématique Lotka-Volterra considère trois variables, à savoir : la densité de proies N, la densité de prédateurs P et le temps t et exprime leur taux d’évolution en fonction des paramètres démographiques.

Pour la population de proies

ΔN/Δt = naissances – décès par prédations – décès naturels

On suppose qu’il y a beaucoup plus de décès par prédations que par raisons naturelles.

ΔN/Δt = naissances – décès par prédations

ΔN/Δt = a N(t) – b P(t) N(t)

Pour la population de prédateurs

ΔP/Δt = naissances – décès par prédations – décès naturels

On suppose que les naissances sont favorisées par la consommation de proies et que les décès par prédation sont beaucoup plus rares que les décès naturels.

ΔP/
Δt = naissances – décès naturels

ΔP/Δt = b N(t) P(t) – c P(t)


Exemple de solution théorique obtenue pour N(t=0) = 50, P(t=0) = 5, a=0.2, b=0.1, c=3

Observations

Les populations de proies et de prédateurs augmentent puis diminuent au cours du temps, ceci de façon décalée. On peut ainsi identifier 1 cycle en 4 temps.

  • Phase 1 : La population de prédateurs est forte et la quantité de proies est faible. Par conséquent, le taux de reproduction des prédateurs diminuent mais comme il est toujours important, la population continue aussi à décroître. 
  • Phase 2 : La population de prédateurs est suffisamment faible pour que la quantité de proies augmente. Le stock de proies se reconstitue.
  • Phase 3 : Le stock de proies est suffisamment important pour que la population de prédateurs prolifère. 
  • Phase 4 : La population de prédateurs est à nouveau élevée et la population de proies commence à diminuer.


Comparaison de l’allure des solutions théoriques avec un cas réel

Un jeu de données fréquemment utilisé pour illustrer la pertinence du modèle de Lotka-Volterra est le relevé des populations de lynx et de lièvres, effectué par les Chasseurs de la Compagnie de la baie de Hudson, entre 1840 et 1930. 

Comparer l’allure des solutions théoriques avec les données ci-contre. Que remarquez-vous ?

Le modèle de Lotka-Volterra donne une bonne idée des effets de la démographie sur l’évolution des populations. Néanmoins, en général, les solutions ne rendent pas bien compte des observations effectuées dans la nature ou sur un terrain d’expérimentation.

Pour aller + loin

  • Identifiez les hypothèses simplificatrices qui ont été faites lors de l’énoncé des équations. 
  • Quels sont les aspects biologiques et environnementaux non pris en compte par le modèle de Lotka-Volterra ?